一、信号与系统的基本概念
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（一）、典型的信号
1. 基于信号维度的分类
一维信号：声音（仅讨论）
二维信号：图像
三维信号：视频、深度图
四维信号：VR、三维游戏中看到的信号
2. 连续/离散
连续信号：x（t），离散信号：x[n]
证明：把一个信号拆成奇信号和偶信号的方法唯一
\[
\left\{
\begin{aligned}
x(t)=x_e(t)+x_o(t) \\
x(-t)=-x_e(t)+x_o(t) \\
\end{aligned}
\right.
\Longrightarrow
\left\{
\begin{aligned}
x_e(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)] \\
x_o(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t) \\
\end{aligned}
\right.
\]
3. 连续信号函数：
冲激函数：
$$ \delta(t)=\frac{du(t)}{dt} $$ 抽样函数
\[
S_a(t)=\frac{sint}{t} \\
\]
有：
\[
\int_{-\infty}^\infty Sa(t)dt={\pi}
\]
证1：留数定理（积分路径上有单极点的积分：分开考虑，上半平面2\(\pi\)i，实轴上\(\pi\)i）
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{sint}{t}dt=Im(\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ix}}{x}dx)=Im(\pi iRes[\frac{e^{iz}}{z};0])={\pi}
\]
证2：实质上用的Laplace变换证明 由： $$ \mathscr{L}[f(t)]=F(p)\to\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_{p}^{+\infty}F(s)ds\ $$ 得：
\[
\begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx
&=2\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx \\
&=2\lim_{p \to 0}\int^{+\infty}_{p}\mathscr{L}[\sin{x}]dp \\
&=2\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+p^2}dp \\
&=\pi \\
\end{align}\\
\]
4.离散信号函数
5. 信号的自变量变换
- 化成标准形式
- 前有负号翻转
- 系数大于1，压缩；系数小于1，拉伸
- 加号左移，减号右移
\[
x(3t+6)=>x(3(t+2))
\]
（二）、系统
1. 线性系统（Linear System）
叠加性
\[
\begin{gather}
x_1(t) \rightarrow y_1(t) \\
x_2(t) \rightarrow y_2(t) \\
\Rightarrow x_1(t)+x_2(t) \rightarrow y_1(t)+y_2(t)
\end{gather}
\]
齐次性
\[
\begin{gather}
x_1(t) \rightarrow y_1(t) \\
\Rightarrow ax_1(t) \rightarrow ay_1(t)
\end{gather}
\]
零输入零输出特性
线性系统判据：所有项均为x的一次项
条件：a可能是复数
求：一个满足齐次性不满足叠加性的系统
一个满足齐次性不满足叠加性的系统
相同叠加推出齐次？
2. 时不变系统（Time-Invariant System）
\[
\begin{gather}
x(t) \rightarrow y(t) \\
\Rightarrow x(t-t_0) \rightarrow y_(t-t_0)
\end{gather}
\]
信号先平移再变换=信号先变换再平移
输入信号平移\(t_ 0\)则输出信号平移\(t_0\)
时不变：
\[
\begin{gather}
y(t)=x(t+k) \\
y(t)=e^{x(t+k)}
\end{gather}
\]
时变：
\[
\begin{gather}
y(t)=x(2t) \\
y(t)=tx(t) \\
y(t)=x(3-t)
\end{gather}
\]
判据:仅括号中有t且括号中不是t的函数
3. 因果系统(Causal System)
输出只决定于现在和过去的输入
非因果:
\[
\begin{gather}
y(t)=x(2t) \\
y(t)=x(\frac{1}{2}t) \\
y[n]=x[3-n]
\end{gather}
\]
判据:x括号里的数恒小于/等于y括号里的数
4. 无记忆系统(Memoryless System)
y(t)的值仅仅只依赖于x(t)的值
记忆：
\[
\begin{gather}
y(t)=x(t-1) \\
y(t)=x(2t)
\end{gather}
\]
判据:x与y中括号里的数完全一样
无记忆系统一定是因果系统
微分器是否为无记忆系统/因果系统不严格进行考虑
普遍认为微分器不是无记忆系统，是因果系统
5. 可逆系统(Invertable System)
x(t)能唯一写成y(t)的形式
积分器可逆,微分器不可逆
6. 稳定系统(Stable System)
\[
\begin{gather}
x(t) \rightarrow y(t) \\
\Rightarrow x(t)有界 \rightarrow y_(t)有界 \\
\end{gather}
\]
连续的微分器，积分器（叠加器）均不稳定
但离散的微分器稳定