二、LTI系统的时域分析
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（一）LTI系统定义
LTI系统：线性时不变系统（Linear Time-Invariant System）
核心：如果知道一个x(t)对应的y(t)，则知道所有x(t)对应的y(t)
（二）离散LTI系统卷积公式
\(x[n]\)单位脉冲序列，\(h[n]\)单位脉冲响应
对于LTI系统，若\(h[n]\)相同，则输入输出相同
-
列表法
\(y[n]\)的最左边等于\(x[n]\)的最左边+\(h[n]\)的最左边
\(y[n]\)的最右边等于\(x[n]\)的最右边+\(h[n]\)的最右边
h[n] 1 1 2 -1 3 3 3 6 -3 2 2 2 4 -2 1 1 1 2 -1 -1 -1 -1 -2 1 3 5 9 1 -1 -3 1 要用\((N-1)^2\)次加法，\(N^2\)次乘法，复杂度为\(O(N^2)\) 快速傅里叶变换 -> 复杂度降为\(O(NlogN)\)
-
卷积公式
左右同时LTI：
\[ \begin{gather} x[n]=\Sigma_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k] \\ \Rightarrow x[n]*h[n]=\Sigma_{k=-\infty}^\infty x[k]h[n-k] \end{gather} \]翻转（卷），平移，相乘（积），求和 $$ x[n]*h[n]=\Sigma_{k=-\infty}^\infty x[k]h[-(k-n)] $$
事实上为同一方法，只不过交换了加法与乘法的顺序
（三）连续LTI系统卷积公式推导
由连续到离散，\(\delta(t)冲激函数\)，\(h(t)冲激响应\)
（四）冲激函数的性质（难）
勒贝格定义中为何不能直接 $$ \int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f_2(t)dt $$ 而是 $$ \int_{-\infty}^{\infty}y(t)f_1(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}y(t)f_2(t)dt $$
- \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1\)
- \(\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t)dt=x(0)，\delta(t)\)定义
- \(x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t),x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)\)
- \(\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)\)，在拉伸\(\delta(t)\)时需注意
- \(\delta(f(t))=\sum\limits_{f(t_0)=0}\frac{1}{|f^\prime(t_0)|}\delta(t-t_0)\)
其中，2是冲激函数的核心，表明冲激函数实质就是在积分下取函数在冲激时间下的值，1是2的特例，取常数1在冲激时间下的值，3也可推2
3，5由2经勒贝格积分推出，4为5的特例
可证： $$ \mathop{lim}\limits_{\omega\rightarrow\infty}\frac{sin(\omega t)}{\pi t}=\delta (t) $$
（五）连续信号卷积计算
- 公式法
- 图像法
方波题目其实本质可以看成离散波，用列表法解决？
卷积后 横坐标为带着坐标翻转并相加？
（六）卷积的性质
1.交换律
2.结合律
（1）换元证明
核心 $$ \begin{gather} t-\tau_2\prime=\tau_2-\tau_1 \ \Rightarrow \tau_2\prime=t-\tau_2+\tau_1 \end{gather} $$
（2）LTI系统框图证明
核心：若一个LTI系统对\(\delta(t)\)输入输出一致，则两LTI系统相同
3.分配律
（七）第二章补充公式
1.交换律、结合律、分配律
2. 冲激偶函数
3.
由 $$ h(t)=\delta\prime(t) \Rightarrow\frac{dx(t)}{dt}=x(t)*\delta\prime(t) $$